关于三角形的数学知识科普 三角形基础知识必知

三角形，这个简单而强大的几何形状，在我们的日常生活中无处不在。从建筑结构到艺术创作，从自然界到科技领域，三角形都发挥着重要的作用。关于三角形的数学知识科普内容作为数学学科的一个重要知识点，三角形承载着丰富的数学原理和科学知识，是培养孩子们逻辑思维和空间观念的重要载体。

第1篇：关于三角形的数学知识科普-三角形定理

 三角形两边

定理：三角形两边的和大于第三边。

推论：三角形两边的差小于第三边。

三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形的重心

三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

与三角形有关的角

1.三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。

2.直角三角形两个锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）。有两个角互余的三角形是直角三角形。

3.三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形三个外角和为360°。

等腰三角形的性质和判定

◆  性质

1.等腰三角形的两个底角相等(简写成”等边对等角”)。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成”等腰三角形的三线合一”)。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。

7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

◆  判定

在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。

在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)

第2篇：关于三角形的数学知识科普-三角形定义和分类

　三角形定义

　　由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所得到的几何图形叫做三角形，符号为△。三角形是几何图案的基本图形。

　　三角形分类

　　按角分

　　判定法一：

　　锐角三角形：三个角都小于90度。

　　直角三角形：可记作Rt△。其中一个角必须等于90度。

　　钝角三角形：有一个角大于90度。

　　判定法二：

　　锐角三角形：最大角小于90度。

　　直角三角形：最大角等于90度。

　　钝角三角形：最大角大于90度。

　　其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。

　　判断方法

　　若一个三角形的三边a，b，c （a>b>c>0） 满足：

　　（i）b+c>a，则这个三角形是锐角三角形；

　　（ii）b+c=a，则这个三角形是直角三角形；

　　（iii）b+c<a，则这个三角形是钝角三角形。

　　按边分

　　不等边三角形；

　　等腰三角形；

　　等边三角形。

第3篇：关于三角形的数学知识科普-三角形的性质和判定

全等三角形的性质和判定

全等三角形共有5种判定方式：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。特殊情况下平移、旋转、对折也会构成全等三角形。

1.SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等.

2.SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等.

3.ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等.

4.AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等.

5.HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

注意：

1.SSS、SAS、ASA、AAS可用于任意三角形；HL只限于直角三角形.

2.SSA、AAA不能判定全等三角形.

3.在证明时注意利用定理，如：等式性质、等量代换、等角重合有等角、公共边、公共角、对顶角相等、等角或同角的余角或补角相等、角平分线定义、线段中点定义等.

4.证明全等写条件时注意书写顺序.

5.写全等结论时注意对应顶点的位置.

6.有时全等三角形会结合等腰三角形出现命题.

直角三角形的判定

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：若a的平方+b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互余的三角形是直角三角形。

判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL ，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。[定理：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。简称为HL]

判定6：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则这两直线垂直。

判定7：在一个三角形中若它一边上的中线等于这条中线所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

等边三角形的判定

1.三边相等的三角形是等边三角形(定义)。

2.三个内角都相等的三角形是等边三角形。

3.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

4. 有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

第4篇：关于三角形的数学知识科普-三角形的公式

　在△ABC中,设AB=c,AC=b,CB=a,s=(a+b+c)/2 , r为内切圆半径, R为外接圆半径,“√”为根号.

　　1.面积公式S=(1/2)a×ha

　　S=(1/2)ab×sinC

　　S=rs

　　S=abc/(4R)

　　S=2R×sinAsinBsinC

　　S=s(s-a)×tan(A/2)

　　S=√[(s-a)(s-b)(s-c)s] (海伦公式)

　　S=s×tan(A/2)tan(B/2)tan(C/2)

　　S=(a-b)sinAsinB/[2sin(A-B)]

　　2.中线.a边中线长Ma=(1/2)×√(2b+2c-a)

　　=(1/2)×√(b+c+2bc×cosA)

　　3.高.a边高长ha=c×sinB=b×sinC

　　ha=a×sinBsinC/sinA

　　ha=√[b-(a+b-c)/(2a) ]

　　4.角平分线.a边角平分线长la=2bc×cos(A/2)/(b+c)

　　la=√{bc[(b+c)-a]}/(b+c)

　　5.内切圆,外接圆半径:

　　r=S/s=4R×sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

　　r=s×tan(A/2)tan(B/2)tan(C/2)

　　R=a/(2sinA)=abc/(4s)=abc/[2r(a+b+c)]

　　6.同角三角函数间的关系:

　　sinα×cscα=1

　　cosα×secα=1

　　tanα×cotα=1

　　tanα=sinα/cosα,cotα=cosα/sinα

　　(sinα)+(cosα)=1

　　1+(tanα)=(secα)

　　1+(cotα)=(cscα)

　　7.正弦定理：

　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

　　8.余弦定理：

　　a=b+c-2bc cosA

　　b=a+c-2ac cosB

　　c=a+b-2ab cosC

　　9.倍角公式:

　　sin(2α)=2sinαcosα

　　cos(2α)=(cosα)-1=1-2(sinα)

　　tan(2α)=2tanα/[1-(tanα)]

　　sin(3α)=3sinα-4(sinα)^3

　　cos(3α)=4(cosα)^3-3cosα

　　10.两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

　　大角对大边

　　周长c=三边之和a+b+c

　　面积

　　s=1/2ah(底*高/2)

　　s=1/2absinC(两边与夹角正弦乘积的一半)

　　s=1/2acsinB

　　s=1/2bcsinA

　　s=根号下：p(p-a)(p-b)(p-c) 其中p=1/2(a+b+c)

　　这个公式叫海伦公式

　　11.正弦定理：

　　sinA/a=sinB/b=sinc/C

　　12.余弦定理：

　　a=b+c-2bc cosA

　　b=a+c-2ac cosB

　　c=a+b-2ab cosA

第5篇：关于三角形的数学知识科普-勾股定理

勾股定理：

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么

勾股定理的应用：

 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问题 

勾股定理的逆定理：

 如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.

1.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形；若时，以a，b，c 为三边的三角形是钝角三角形；若时，以a，b，c 为三边的三角形是锐角三角形；

2.定理中a，b，c 及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c 满足，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边.

3.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 

勾股数

1.能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，a，b，c 为正整数时，称a，b，c 为一组勾股数

2.记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等。

3.用含字母的代数式表示n组勾股数：（n为正整数）；（n为正整数）（m>n,m，n为正整数） 

第6篇：关于三角形的数学知识科普-三角形的基础

一、目标与要求

　　1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。

　　2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。

　　3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。

　　4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。

　　5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。

　　二、重点

　　三角形内角和定理;

　　对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。

　　三、难点

　　三角形内角和定理的推理的过程;

　　在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;

　　用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。

　　四、知识框架

　　五、知识点、概念总结

　　1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

　　2.三角形的分类

　　3.三角形的三边关系：三角形任意两边的`和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

　　4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

　　5.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

　　6.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

　　7.高线、中线、角平分线的意义和做法

　　8.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

　　9. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°

　　推论1 直角三角形的两个锐角互余;

　　推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和;

　　推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;

　　三角形的内角和是外角和的一半。

　　10. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。

　　11.三角形外角的性质

　　(1)顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线;

　　(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;

　　(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;

　　(4)三角形的外角和是360°。

　　12.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

　　13.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

　　14.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

　　15.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

　　16.多边形的分类：分为凸多边形及凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形。多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。

　　17.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

　　18.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

　　19.公式与性质

　　多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)·180°

　　20.多边形外角和定理：

　　(1)n边形外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°

　　(2)多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°

　　21.多边形对角线的条数：

　　(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分词(n-2)个三角形。

　　(2)n边形共有n(n-3)/2条对角线。

第7篇：关于三角形的数学知识科普-相似三角形

 两点间距离公式

公式描述：

公式中(x1，y1)，(x2，y2)分别为A、B两个点的坐标。

相似三角形

◆  简介：

三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

◆  性质：

1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例。

2. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3. 相似三角形周长的比等于相似比。

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。

由 4 可得：相似比等于面积比的算术平方根。

5. 相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方

6. 若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项

7. a/b=c/d等同于ad=bc.

8. 不必是在同一平面内的三角形里。

◆  判定：

类比全等三角形的判定定理，可以得出下列结论：

定理 两角分别对应相等的两个三角形相似。

定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

定理 三边成比例的两个三角形相似。

定理 一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。

根据以上判定定理，可以推出下列结论：

推论 三边对应平行的两个三角形相似。 

推论 一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

◆  推论：

推论一：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论二：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论三：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

第8篇：关于三角形的数学知识科普-直角三角形相似判定

　1全等三角形的判定

　　1、一般三角形全等的判定

　　（1）边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“SSS”）。

　　（2）边角公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或“SAS”）。

　　（3）角边角公理：两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等（“角边角”或“ASA”）。

　　（4）角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（“角角边”或“AAS”）。

　　2、直角三角形全等的判定

　　利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等、

　　斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）、

　　注意：两边一对角（SSA）和三角（AAA）对应相等的两个三角形不一定全等。

　　2与三角形有关的角

　　1、三角形的内角

　　三角形的内角和等于180。

　　2、三角形的外角

　　三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

　　三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

　　三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

　　3与三角形有关的线段

　　1、三角形的.边

　　由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

　　顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

　　三角形两边的和大于第三边。

　　2、三角形的高、中线和角平分线

　　3、三角形的稳定性

　　三角形具有稳定性。

　　4相似三角形的判定方法

　　由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：

　　（1）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；

　　（2）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；

　　（3）如果一个三角形的两个角和另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

　　5三角形的三边关系：

　　在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。

　　设三角形三边为a，b，c

　　则

　　a+b>c

　　a+c>b

　　b+c>a

　　a—b<c< div=””>

　　a—c<b< div=””>

　　b—c<a< div=””>

　　在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。

　　则两直角边的平方和等于斜边平方。

　　在等边三角形中，a=b=c

　　在等腰三角形中，a，b为两腰，则a=b

　　在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c2=a2+b2—2abcosc

　　6相似三角形

　　所谓的相似三角形，就是它们的形状相同，但大小不一样，然而只要其形状相同，不论大小怎样改变他们都相似，所以就叫做相似三角形。

　　三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

　　7相似三角形的判定方法有：

　　平行与三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，

　　如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，

　　如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似，

　　如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，

　　直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

　　直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

第9篇：关于三角形的数学知识科普-锐角三角函数

锐角三角形

sinA=a/c,

cosA=b/c,

tanA=a/b,

1.互余角的三角函数值之间的关系

若∠ A+∠ B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA 

2.同角的三角函数值之间的关系

①sin²A+cos²A=1

②tanA=sinA/cosA

③tanA=1/tanB

④a/sinA=b/sinB=c/sinC 

3.锐角三角函数随角度的变化规律

锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。

4.符号 sin cos tan 

正弦函数sin（A）=a/c

余弦函数cos（A）=b/c

正切函数tan（A）=a/b

其中a为对边，b为邻边，c为斜边

第10篇：关于三角形的数学知识科普-三角轴对称

　一、轴对称图形

　　1、把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

　　2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点，叫做对称点

　　3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

　　4、轴对称的性质

　　①关于某直线对称的两个图形是全等形。

　　②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

　　③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

　　④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

　　二、线段的垂直平分线

　　1、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

　　2、线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等

　　3、与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上

　　三、用坐标表示轴对称小结：

　　在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数、关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等、

　　2、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等

　　四、（等腰三角形）知识点回顾

　　1、等腰三角形的性质

　　①、等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

　　②、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）

　　2、等腰三角形的’判定：

　　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）

　　五、（等边三角形）知识点回顾

　　1、等边三角形的性质：

　　等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。

　　2、等边三角形的判定：

　　①三个角都相等的三角形是等边三角形。

　　②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。

　　3、在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

　　1、等腰三角形的性质

　　（1）等腰三角形的性质定理及推论：

　　定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

　　推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

　　推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

　　（2）等腰三角形的其他性质：

　　①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

　　②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

　　③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

　　④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=

　　2、等腰三角形的判定

　　等腰三角形的判定定理及推论：

　　定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

　　推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

　　推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

　　推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

通过深入了解关于三角形的数学知识科普内容，我们可以更好地理解这个无处不在的几何形状，探索其背后的数学原理和科学奥秘。让我们与孩子们一起，开启三角形的探索之旅，培养他们的逻辑思维、空间观念和解决问题的能力，为未来的数学学习和科学探索打下坚实的基础。