抛物线的基本知识点 数学抛物线知识点

抛物线，作为几何学中的一种常见曲线，具有许多独特的性质和重要的应用。抛物线在生活中随处可见，如喷泉、卫星轨道等，其数学表达形式简洁而优美。掌握抛物线的基本知识点，对于理解更复杂的几何问题、解决实际问题以及培养数学思维都具有重要意义。

第1篇：抛物线的基本知识点-抛物线的定义和特点

定义

右开口抛物线:y² = 2px

左开口抛物线:y²=-2px

上开口抛物线:x²= 2py

下开口抛物线:x²= -2py

(p > 0) [p为焦准距]

特点

在抛物线y2=2px 中，焦点是(/,0)，准线的方程是x=-”，离心率e=1，范围:x≥0;

在抛物线y=-2px中，焦点是(一/2,0)，准线的方程是x=，离心率e=1，范围:x≤0;

在抛物线x=2py 中，焦点是(0,号)，准线的方程是y=-/，离心率e=1，范围:y≥0;

在抛物线x²=-2py中，焦点是(0,一号)，准线的方程是y=/，

离心率

e=1，范围: y≤0.

第2篇：抛物线的基本知识点-抛物线的扩展公式

抛物线: y = ax² + bx + c (a≠0)

就是y等于ax 的平方加上bx再加上C;

a>0时开口向上;

a<0时开口向下;

C=0时抛物线经过原点;

b=0时抛物线对称轴为y轴。

还有顶点式y = a (x-h)¹ +k

h是顶点坐标的x;

k是顶点坐标的y;

一般用于求最大值与最小值。

抛物线标准方程:y1=2px

它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2，0)准线方程为x=-p/2。

由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y1=2px，y1=-2px，x1=2py，x1=-2py。

第3篇：抛物线的基本知识点-抛物线四种方程的异同

共同点:

①原点在抛物线上，离心率e均为1②对称轴为坐标轴;

③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4

不同点:

①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2;对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2;

②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同时，焦点在x轴(y轴)的正半轴上，方程的右端取正号;开口方向与x(或y轴)的

负半轴相同时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号。

切线方程

抛物线y ²=2px上一点(xo，yo) 处的切线方程为:yoy = p(x + xo)。

抛物线y2=2px上过焦点斜率为k的方程为:y=k (x-p/2) 。

第4篇：抛物线的基本知识点-切线、法线的几何性质

（1）设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。

（2）过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。〈为性质（1）第二部分的逆定理〉从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。

（3）设抛物线上一点P（P不是顶点）的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。这个性质可以推出抛物线的光学性质，即经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。

（4）设抛物线上除顶点外的点P的切线交轴于A，交顶点O的切线于B，则FB垂直平分PA，且FB与准线的交点M恰好是P在准线上的射影（即PM垂直于准线）。

（5）抛物线的三条切线所围成的三角形，其外接圆经过焦点。即：若AB、AC、BC都是抛物线的切线，则ABCF四点共圆。

（6）过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，连接切点的弦与轴相交于A。又设P在轴上的射影为B，则O是AB中点。

（7）若抛物线与一个三角形的三条边（所在直线）都相切，则准线通过该三角形的垂心。

第5篇：抛物线的基本知识点-抛物线的相关参数

(对于向右开口的抛物线y2=2px)

离心率:e=1 (恒为定值，为抛物线上一点与准线的距离以及该点与焦点的距离比)

焦点:(p/2，0)

准线方程I:x=-p/2

顶点:(0，0)

定义域:对于抛物线y2=2px，p>0时，定义域为x≥0，p<0时，定义域为x≤0;对于

抛物线x2=2py，定义域为R。

值域:对于抛物线y2=2px，值域为R，对于抛物线x2=2py，p>0时，值域为y≥0,

p<0时，值域为y≤0。

第6篇：抛物线的基本知识点-双曲线的向量

向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x’，y+y’)。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.

简证： =.

常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

双曲线方程知识点在高考中属于比较重要的考察点，希望考生认真复习，深入掌握。

向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”

a=(x,y) b=(x’,y’) 则 a-b=(x-x’,y-y’).

数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向;

当λ<0时，λa与a反方向;

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

扩展资料

焦点坐标、渐近线方程

方程x/a-y/b=1(a>0,b>0)

c=a+b

焦点坐标(-c,0),(c,0)

渐近线方程：y=±bx/a

方程 y/a-x/b=1(a>0,b>0)

c=a+b

焦点坐标(0,c),(0,-c)

渐近线方程：y=±ax/b

几何性质

1.双曲线 x/a-y/b =1的简单几何性质

(1)范围：|x|≥a,y∈R.

(2)对称性：双曲线的’对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.

(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c=a+b.与椭圆不同.

(4)渐近线：双曲线特有的性质

方程：y=±(b/a)x(当焦点在x轴上)，y=±(a/b)x (焦点在y轴上)

或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零即得渐近线方程.

(5)离心率e>1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±b/a_x,离心率e=c/a=√2

(7)共轭双曲线：方程 x/a-y/b=1与x/a-y/b=-1 表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.

第7篇：抛物线的基本知识点-抛物线的定义

准线、焦点：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。

轴：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。

焦准距：焦点到准线的距离称为焦准距，长度为p。

焦半径：连接抛物线上任意一点与抛物线焦点得到的线段。对于抛物线y2=2px，P(x0，y0)，则|PF|=x0+p/2。

弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。

焦弦：抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。对于抛物线y2=2px，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p=2p/sin2θ（θ是AB的倾斜角）

正焦弦：抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦，又叫通径。通径长为2p。

直径：抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也叫这组平行弦的共轭直径。所有的直径都与轴平行，因此也可以定义抛物线的直径为过抛物线上任意一点作轴的平行线（射线）

主要直径：抛物线的主要直径是抛物线的轴的一部分（在抛物线内部的射线）。

抛物线即把物体抛掷出去，落在远处地面，这物体在空中经过的曲线。

综上所述，抛物线作为几何学中的基础概念，具有丰富的性质和应用。通过深入学习抛物线的基本知识点，我们可以更好地理解其几何特征，掌握解决相关问题的方法，并进一步探索其在各个领域的应用。